请参考胡伯涛的论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
闭合图的概念就很好引出了。在一个图中,我们选取一些点构成集合,记为V,且集合中的出边(即集合中的点的向外连出的弧),所指向的终点(弧头)也在V中,则我们称V为闭合图。最大权闭合图即在所有闭合图中,集合中点的权值之和最大的V,我们称V为最大权闭合图。
首先引入结论,最小割所产生的两个集合中,其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图,接下来我们来说明一些结论。
证明:最小割为简单割。
引入一下简单割的概念:割集的每条边都与S或T关联。(请下面阅读时一定分清最小割与简单割,容易混淆)
那么为什么最小割是简单割呢?因为除S和T之外的点间的边的容量是正无穷,最小割的容量不可能为正无穷。所以,得证。
证明网络中的简单割与原图中闭合图存在一一对应的关系。(即所有闭合图都是简单割,简单割也必定是一个闭合图)。
证明闭合图是简单割:如果闭合图不是简单割(反证法)。那么说明有一条边是容量为正无穷的边,则说明闭合图中有一条出边的终点不在闭合图中,矛盾。
证明简单割是闭合图:因为简单割不含正无穷的边,所以不含有连向另一个集合(除T)的点,所以其出边的终点都在简单割中,满足闭合图定义。得正。
证明最小割所产生的两个集合中,其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图。
首先我们记一个简单割的容量为C,且S所在集合为N,T所在集合为M。
则C=M中所有权值为正的点的权值(即S与M中点相连的边的容量)+N中所有权值为负的点权值的绝对值(即N中点与T中点相连边的容量)。记(C=x1+y1);(很好理解,不理解画一个图或想象一下就明白了)。
我们记N这个闭合图的权值和为W。
则W=N中权值为正的点的权值-N中权值为负的点的权值的绝对值。记(W=x2-y2);
则W+C=x1+y1+x2-y2。
因为明显y1=y2,所以W+C=x1+x2;
x1为M中所有权值为正的点的权值,x2为N中权值为正的点的权值。
所以x1+x2=所有权值为正的点的权值之和(记为TOT).
所以我们得到W+C=TOT.整理一下W=TOT-C.
到这里我们就得到了闭合图的权值与简单割的容量的关系。
因为TOT为定值,所以我们欲使W最大,即C最小,即此时这个简单割为最小割,此时闭合图为其源点S所在集合(除去S)。得正。
至此,我们就将最大权闭合图问题转化为了求最小割的问题。求最小割用最小割容量=最大流,即可将问题转化为求最大流的问题。
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然后再说本题
本题还有一个要求就是要求不仅要是最大权,并且要求点数还最少
看一个神牛的证明----
http://hi.baidu.com/dispossessed/blog/item/2396c0ddbc73a2caa044df44.html
下面证明最小割对应取点方案就是最小取点数
由于原图是个DAG图,所以对于取得的最大权闭合图K,取它的任意一个子图G,如果从K-G仍然是一个闭合图,那么的点权和一定大于等于0,例如:1->2,2->3,1->4,4->5,若最大权闭合图为:{1,2,3,4,5},那么其中任一满足条件的G({1},{1,2},{1,2,3},{1,4},{1,4,5})点权和一定大于等于0,否则去除G,K-G仍然为闭合图,但是K-G的点权和会大于K
所以如果有两种取点方式使得权值相同,但是取点数不同的话,那么肯定存在一个可以移除的满足条件的子图G,其点权和为0
下面考虑构造的网络,对于G在网络中的对应图G',由于在网络求的是最小割,即最大流,而且G的点权和为0,所以G'中与源点S连边的容量和等于G'中与汇点T连边的流量和,同时由于去除G后K还是一个闭合图,所以只有可能G'中的流量流入K'-G',不可能有流量从K'-G'流入G',所以G'的边中除了流量为inf的那些,一定是满流的
再考虑在残留网络中求出取点集的方法,从源点开始floodfill,忽略满流边,即残留网络中的0流边,可以遍历到的点就是要取的点集了,这个道理想一下简单割和闭合图的取法一一对应就可以了
那么G'既然是满流的,在残留网络中就不可能对这些0流边进行处理,那就不会取到G中的点进入取点集,所以建立网络求得得最小割对应的取法取出的就是最小的点数了
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当然还有一种是神奇的放大边权方法
建图前,对所有b[i],执行变换b[i]=b[i]*10000-1,然后,会惊异地发现,
此时最大流所对应的方案就是满足辞退最少人数的了。
为什么?显然,变换后的流量r2除以10000后再取整就等于原来的流量,但是
r2的后四位却蕴含了辞退人数的信息:每多辞退一个人,流量就会少1。
上代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define MAXN 5555
#define MAXM 555555
#define INF 1000000007
using namespace std;
struct node
{
int ver; // vertex
int cap; // capacity
int flow; // current flow in this arc
int next, rev;
}edge[MAXM];
int dist[MAXN], numbs[MAXN], src, des, n;
int head[MAXN], e;
void add(int x, int y, int c)
{ //e记录边的总数
edge[e].ver = y;
edge[e].cap = c;
edge[e].flow = 0;
edge[e].rev = e + 1; //反向边在edge中的下标位置
edge[e].next = head[x]; //记录以x为起点的上一条边在edge中的下标位置
head[x] = e++; //以x为起点的边的位置
//反向边
edge[e].ver = x;
edge[e].cap = 0; //反向边的初始容量为0
edge[e].flow = 0;
edge[e].rev = e - 1;
edge[e].next = head[y];
head[y] = e++;
}
void rev_BFS()
{
int Q[MAXN], qhead = 0, qtail = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
dist[i] = MAXN;
numbs[i] = 0;
}
Q[qtail++] = des;
dist[des] = 0;
numbs[0] = 1;
while(qhead != qtail)
{
int v = Q[qhead++];
for(int i = head[v]; i != -1; i = edge[i].next)
{
if(edge[edge[i].rev].cap == 0 || dist[edge[i].ver] < MAXN)continue;
dist[edge[i].ver] = dist[v] + 1;
++numbs[dist[edge[i].ver]];
Q[qtail++] = edge[i].ver;
}
}
}
void init()
{
e = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
}
long long maxflow()
{
int u;
long long totalflow = 0;
int Curhead[MAXN], revpath[MAXN];
for(int i = 1; i <= n; ++i)Curhead[i] = head[i];
u = src;
while(dist[src] < n)
{
if(u == des) // find an augmenting path
{
int augflow = INF;
for(int i = src; i != des; i = edge[Curhead[i]].ver)
augflow = min(augflow, edge[Curhead[i]].cap);
for(int i = src; i != des; i = edge[Curhead[i]].ver)
{
edge[Curhead[i]].cap -= augflow;
edge[edge[Curhead[i]].rev].cap += augflow;
edge[Curhead[i]].flow += augflow;
edge[edge[Curhead[i]].rev].flow -= augflow;
}
totalflow += augflow;
u = src;
}
int i;
for(i = Curhead[u]; i != -1; i = edge[i].next)
if(edge[i].cap > 0 && dist[u] == dist[edge[i].ver] + 1)break;
if(i != -1) // find an admissible arc, then Advance
{
Curhead[u] = i;
revpath[edge[i].ver] = edge[i].rev;
u = edge[i].ver;
}
else // no admissible arc, then relabel this vertex
{
if(0 == (--numbs[dist[u]]))break; // GAP cut, Important!
Curhead[u] = head[u];
int mindist = n;
for(int j = head[u]; j != -1; j = edge[j].next)
if(edge[j].cap > 0)mindist = min(mindist, dist[edge[j].ver]);
dist[u] = mindist + 1;
++numbs[dist[u]];
if(u != src)
u = edge[revpath[u]].ver; // Backtrack
}
}
return totalflow;
}
int nt, m;
int vis[MAXN];
void dfs(int u)
{
if(u == des) return;
vis[u] = 1;
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
if(edge[i].cap > 0 && !vis[edge[i].ver])
dfs(edge[i].ver);
}
int main()
{
init();
scanf("%d%d", &nt, &m);
src = nt + 1;
des = nt + 2;
n = des;
long long sum = 0;
int w, u, v;
for(int i = 1; i <= nt; i++)
{
scanf("%d", &w);
if(w > 0)
{
sum += w;
add(src, i, w);
}
else if(w < 0) add(i, des, -w);
}
while(m--)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
add(u, v, INF);
}
rev_BFS();
long long flow = maxflow();
memset(vis, 0, sizeof(vis));
dfs(src);
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= nt; i++)
if(vis[i]) ans++;
printf("%d %I64d\n", ans, sum - flow);
return 0;
}
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