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程序员面试100题之十:快速寻找满足条件的两个数

 
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能否快速找出一个数组中的两个数字,让这两个数字之和等于一个给定的值,为了简化起见,我们假设这个数组中肯定存在至少一组符合要求的解。

假如有如下的两个数组,如图所示:

5,6,1,4,7,9,8

给定Sum= 10

1,5,6,7,8,9

给定Sum= 10

分析与解法

这个题目不是很难,也很容易理解。但是要得出高效率的解法,还是需要一番思考的。

解法一

一个直接的解法就是穷举:从数组中任意取出两个数字,计算两者之和是否为给定的数字。

显然其时间复杂度为N(N-1)/2即O(N^2)。这个算法很简单,写起来也很容易,但是效率不高。一般在程序设计里面,要尽可能降低算法的时间和空间复杂度,所以需要继续寻找效率更高的解法。

解法二

求两个数字之和,假设给定的和为Sum。一个变通的思路,就是对数组中的每个数字arr[i]都判别Sum-arr[i]是否在数组中,这样,就变通成为一个查找的算法。

在一个无序数组中查找一个数的复杂度是O(N),对于每个数字arr[i],都需要查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中,很容易得到时间复杂度还是O(N^2)。这和最原始的方法相比没有改进。但是如果能够提高查找的效率,就能够提高整个算法的效率。怎样提高查找的效率呢?

学过编程的人都知道,提高查找效率通常可以先将要查找的数组排序,然后用二分查找等方法进行查找,就可以将原来O(N)的查找时间缩短到O(log2N),这样对于每个arr[i],都要花O(log2N)去查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中,总的时间复杂度降低为N* log2N。当让将长度为N的数组进行排序本身也需要O(N*log2N)的时间,好在只须要排序一次就够了,所以总的时间复杂度依然是O(N*log2N)。这样,就改进了最原始的方法。

到这里,有的读者可能会更进一步地想,先排序再二分查找固然可以将时间从O(N^2)缩短到O(N*log2N),但是还有更快的查找方法:hash表。因为给定一个数字,根据hash表映射查找另一个数字是否在数组中,只需要O(1)时间。这样的话,总体的算法复杂度可以降低到O(N),但这种方法需要额外增加O(N)的hash表存储空间。某些情况下,用空间换时间也不失为一个好方法。

解法三

还可以换个角度来考虑问题,假设已经有了这个数组的任意两个元素之和的有序数组(长为N^2)。那么利用二分查找法,只需用O(2*log2N)就可以解决这个问题。当然不太可能去计算这个有序数组,因为它需要O(N^2)的时间。但这个思考仍启发我们,可以直接对两个数字的和进行一个有序的遍历,从而降低算法的时间复杂度。

首先对数组进行排序,时间复杂度为(N*log2N)。

然后令i = 0,j = n-1,看arr[i] + arr[j] 是否等于Sum,如果是,则结束。如果小于Sum,则i = i + 1;如果大于Sum,则 j = j – 1。这样只需要在排好序的数组上遍历一次,就可以得到最后的结果,时间复杂度为O(N)。两步加起来总的时间复杂度O(N*log2N),下面这个程序就利用了这个思想,代码如下所示:

int getSumNum(int[] arr,int Sum),   //arr为数组,Sum为和 
{
	int i,j;
	for(i = 0, j = n-1; i < j ; )
	{
		if(arr[i] + arr[j] == Sum)
			return ( i , j );
		else if(arr[i] + arr[j] < Sum)
			i++;
		else
			j--;
	}
	return ( -1 , -1 );
}

它的时间复杂度是O(N)。

刚开始一直无法理解这样一定可以找到这个和吗?难道不会漏掉了解的位置。可以这么理解,假如排好序后的数组为1,3,6,a,9,12,17,28,b,35,46 ,那么i最初指向1的位置,j最初指向46的位置,比如所求的是Sum=a+b,a<b,a和b在数组中的某位置上。那么i和j在变化过程中,只考虑i遇到了a或者j遇到了b的时候,必定有一个先遇到,比如i遇到了a,那么这个时候j必定还没指到b,故这是j指到的值比b大,从而j减小直到b位置。同理若j先指到了b位置,那么i必定还没指到a(这是我们的前提),然后i现在指到的值比a小,故i增加,直到a位置。

扩展问题

1、如果把这个问题中的“两个数字”改成“三个数字”或“任意个数字”时,你的解是什么呢?

三个数字:首先还是先对数组进行排序,然后从i=0到n-1进行遍历,遍历arr[i]时,在调用上面的函数getSumNum(arr , Sum-arr[i])即可。

任意m个数字的想法:

首先还是先对数组进行排序,然后从i=0到n-1个元素遍历,遍历arr[i]时,在剩下的n-1个元素中调用getSumNum(arr,Sum-arr[i]),此时为求m-1个元素和为Sum-arr[i];接下来,同样的方法,从j=0到n-2个元素遍历,遍历arr[j]时在arr上递归调用getSumNum(arr,Sum-arr[i]-arr[j]),此时为求m-2个元素和为Sum-arr[i]-arr[j];依次递归,直到为求2个元素和为Sum-?-?-?...时为止。

不论是求3个数字还好是m个数字,总是能比较穷举法少一个数量级n,比先排序然后二分查找求Sum-arr[i]也要快。


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