POJ 2699 枚举+最大流

这应该说是比较神的一个题目了

题意的话，就是有n 个人，两两之间打比赛，每场比赛赢的人加一分，总共呢有n*(n-1)/2个比赛，然后求这样一种人的个数，就是能赢所有比自己分高的人或者他就是分最高的人。 当然我们是求这种人可能的最大个数，

建图的话，就要分两种点，人和比赛，很显然，源点到所有的人建边，容量是该人的得分，所有比赛与汇点建边，容量为1。那么现在要处理的就是人与比赛的关系了。

当我们看到n的大小最多只有10时，就应该意识到这个问题，是否可以枚举呢？

最裸的想法，二进制位枚举strong kings，那么复杂度大概是1000*60 * 60，貌似还不错的样子。

对每个strong kings，设其编号为i，某个比他分高的人为j，那么他俩对应的比赛应该是i赢，那么直接让i去连接这个比赛点就行了，容量为1，代表这是一个必要的边，但是其他的比赛我们不知道结果，就要把比赛双方i,j都连一个容量为1的边到对应的比赛点上。

实验一下，125ms

然后就有了进阶版本的想法了，可以意识到分数越高的人越有可能成为strong kings，然后我们枚举strong kings的个数k，让队列最后k个人成为strong kings。看到网上有人说strong kings'必然是'队列中的后k个人，这句话显然是错的，我们可以通过构造无数不是这样情况的序列， 但是我们可以确定的是，对于一个序列，如果有k个strong kings，那么必然存在一种情况，就是后k个人是strong kings。注意，是‘存在’，而不是‘必然是‘。

现在开始证明 ：

假设序列是这个模样，1....i.....j.....k......n

i,k是strong kings,而j不是

假设j输给了j+1至n区间中的x个人，那么显然i是赢了这x个人的，我们现在想把j变为strong kings

那么就让把j输了的这些场全变成赢，此时分值改变了x，就将与i之前的人们的比赛多输x场，这样j的分数守恒了，但是j一赢之后，原本输给的x个人的分数少了，那就让他们都去赢i，这样他们的分数也就守恒了，此时发现i分数又不守恒了，少了x，恰好刚才j去输给i之前的人了x场，i正好去赢x场，这样大家的分数都守恒了。

就这样我们把一个不连续的strong kings们变的紧密了一些，依次这样，直到strong kings都在序列的后面

然后发现，瞬间变成了0ms

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define MAXN 75
#define MAXM 5555
#define INF 1000000007
using namespace std;
struct node
{
    int ver;    // vertex
    int cap;    // capacity
    int flow;   // current flow in this arc
    int next, rev;
}edge[MAXM];
int dist[MAXN], numbs[MAXN], src, des, n;
int head[MAXN], e;
void add(int x, int y, int c)
{       //e记录边的总数
    edge[e].ver = y;
    edge[e].cap = c;
    edge[e].flow = 0;
    edge[e].rev = e + 1;        //反向边在edge中的下标位置
    edge[e].next = head[x];   //记录以x为起点的上一条边在edge中的下标位置
    head[x] = e++;           //以x为起点的边的位置
    //反向边
    edge[e].ver = x;
    edge[e].cap = 0;  //反向边的初始容量为0
    edge[e].flow = 0;
    edge[e].rev = e - 1;
    edge[e].next = head[y];
    head[y] = e++;
}
void rev_BFS()
{
    int Q[MAXN], qhead = 0, qtail = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        dist[i] = MAXN;
        numbs[i] = 0;
    }
    Q[qtail++] = des;
    dist[des] = 0;
    numbs[0] = 1;
    while(qhead != qtail)
    {
        int v = Q[qhead++];
        for(int i = head[v]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            if(edge[edge[i].rev].cap == 0 || dist[edge[i].ver] < MAXN)continue;
            dist[edge[i].ver] = dist[v] + 1;
            ++numbs[dist[edge[i].ver]];
            Q[qtail++] = edge[i].ver;
        }
    }
}
void init()
{
    e = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
}
int maxflow()
{
    int u, totalflow = 0;
    int Curhead[MAXN], revpath[MAXN];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)Curhead[i] = head[i];
    u = src;
    while(dist[src] < n)
    {
        if(u == des)     // find an augmenting path
        {
            int augflow = INF;
            for(int i = src; i != des; i = edge[Curhead[i]].ver)
                augflow = min(augflow, edge[Curhead[i]].cap);
            for(int i = src; i != des; i = edge[Curhead[i]].ver)
            {
                edge[Curhead[i]].cap -= augflow;
                edge[edge[Curhead[i]].rev].cap += augflow;
                edge[Curhead[i]].flow += augflow;
                edge[edge[Curhead[i]].rev].flow -= augflow;
            }
            totalflow += augflow;
            u = src;
        }
        int i;
        for(i = Curhead[u]; i != -1; i = edge[i].next)
            if(edge[i].cap > 0 && dist[u] == dist[edge[i].ver] + 1)break;
        if(i != -1)     // find an admissible arc, then Advance
        {
            Curhead[u] = i;
            revpath[edge[i].ver] = edge[i].rev;
            u = edge[i].ver;
        }
        else        // no admissible arc, then relabel this vertex
        {
            if(0 == (--numbs[dist[u]]))break;    // GAP cut, Important!
            Curhead[u] = head[u];
            int mindist = n;
            for(int j = head[u]; j != -1; j = edge[j].next)
                if(edge[j].cap > 0)mindist = min(mindist, dist[edge[j].ver]);
            dist[u] = mindist + 1;
            ++numbs[dist[u]];
            if(u != src)
                u = edge[revpath[u]].ver;    // Backtrack
        }
    }
    return totalflow;
}
int id[22][22];
int score[22];
int fg[22][22];
int nt, num;
void cut(char *s)
{
    int len = strlen(s);
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++)
    {
        if(s[i] >= '0' && s[i] <= '9')
        {
            t = t * 10 + s[i] - '0';
            if(i == len - 1 || s[i + 1] == ' ')
            {
                score[++nt] = t;
                t = 0;
            }
        }
    }
}
void build(int k)
{
    init();
    for(int i = 1; i <= nt; i++) add(src, i, score[i]);
    for(int i = nt + 1; i <= num; i++) add(i, des, 1);
    memset(fg, 0, sizeof(fg));
    for(int i = nt - k + 1; i <= nt; i++)
        for(int j = i + 1; j <= nt; j++)
            if(score[i] < score[j])
                add(i, id[i][j], 1), fg[i][j] = 1;
    for(int i = 1; i <= nt; i++)
        for(int j = i + 1; j <= nt; j++)
            if(!fg[i][j])
                add(i, id[i][j], 1), add(j, id[i][j], 1);
}
int main()
{
    int T;
    char s[555];
    scanf("%d", &T);
    getchar();
    while(T--)
    {
        gets(s);
        nt = 0;
        cut(s);
        num = nt;
        for(int i = 1; i <= nt; i++)
            for(int j = i + 1; j <= nt; j++)
                id[i][j] = id[j][i] = ++num;
        src = num + 1;
        des = num + 2;
        n = des;
        int ans = -1;
        for(int i = nt; i >= 1; i--)
        {
            build(i);
            rev_BFS();
            if(maxflow() == nt * (nt - 1) / 2)
            {
                ans = i;
                break;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}