SGU 206 Roads KM算法 匹配模型的转化

这是一道非常好的题目

题目大意：

给了一个图，n个点,m条边，其中前n-1条边保证是生成树，现在你可以修改每条边的边权，花费为修改量，然后用最小的花费修改使得前n-1条边为最小生成树

这题乍一看无从下手

实际上可以这么分析

边可以分为两类，一种是前n-1条边，构成了一个生成树，其他的边是另外一种边

显然如果我们要达到最小生成树的目的，就要让生成树上的边变小，而另外的边变大

从第n条边到第m条边，每条边如果加入那个生成树中，必然会构成了一个环，而我们不想让这条边去替换环中的任意一条边，所以这条边必须比任意环中的边要大。

假设环中的某边为i，这条边为j， 权值分为w[i], w[j] ，修改后的权值为 w[i] - x[i] ， w[j] + x[j] 必然有 w[i] - x[i] <= w[j] + x[j] 从而有 x[i] + x[j] >= w[i] - w[j]

然后目的是sum(x[i]) 1 <= i <= m 最小

观察x[i] + x[j] >= w[i] - w[j] 这个不等式和我们的目的，是否发现跟KM算法有相像之处？

因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和

而我们在寻找可行边的过程，每条边从不是可行边到变为可行边，会使边两端的可行顶标之和减小，最后到达最大权匹配时就是顶标和最小的时候。

这道题又像我们传达了一个算法活用的思想。

往往根据几个式子，就可以转化为某个模型。这也是建立在对算法的深刻理解上吧、

注意：如果两边点数不知谁大谁小，点数少的那一方补齐点，补的点跟另一方的点的边权都为0，KM是先保证的最大匹配数，再保证的最大权

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define eps 1e-5
#define MAXN 405
#define MAXM 405
#define INF 100000007
using namespace std;
int n, m, ny, nx;
int w[MAXN][MAXM];
int lx[MAXN], ly[MAXM];
int linky[MAXM];
int visx[MAXN], visy[MAXM];
int slack[MAXM];
bool find(int x)
{
    visx[x] = 1;
    for(int y = 1; y <= ny; y++)
    {
        if(visy[y]) continue;
        int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
        if(t == 0)
        {
            visy[y] = 1;
            if(linky[y] == -1 || find(linky[y]))
            {
                linky[y] = x;
                return true;
            }
        }
        else if(slack[y] > t) slack[y] = t;
    }
    return false;
}
int KM()
{
    memset(linky, -1, sizeof(linky));
    for(int i = 1; i <= nx; i++) lx[i] = -INF;
    memset(ly, 0, sizeof(ly));
    for(int i = 1; i <= nx; i++)
        for(int j = 1; j <= ny; j++)
            if(w[i][j] > lx[i]) lx[i] = w[i][j];
    for(int x = 1; x <= nx; x++)
    {
        for(int i = 1; i <= ny; i++) slack[i] = INF;
        while(true)
        {
            memset(visx, 0, sizeof(visx));
            memset(visy, 0, sizeof(visy));
            if(find(x)) break;
            int d = INF;
            for(int i = 1; i <= ny; i++)
                if(!visy[i]) d = min(d, slack[i]);
            if(d == INF) return -1;
            for(int i = 1; i <= nx; i++)
                if(visx[i]) lx[i] -=d;
            for(int i = 1; i <= ny; i++)
                if(visy[i]) ly[i] += d;
                else slack[i] -= d;
        }
    }
    return 1;
}
int x[MAXN], y[MAXN], z[MAXN];
int g[MAXN][MAXN];
int dfs(int pre, int u, int v, int id)
{
    if(u == v) return 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(pre == i || !g[u][i]) continue;
        if(dfs(u, i, v, id))
        {
            w[g[u][i]][id] = z[g[u][i]] - z[id];
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &x[i], &y[i], &z[i]);
    for(int i = 1; i <= n - 1; i++) g[x[i]][y[i]] = g[y[i]][x[i]] = i;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            w[i][j] = 0;
    nx = ny = m;
    for(int i = n; i <= m; i++)
        dfs(0, x[i], y[i], i);
    KM();
    for(int i = 1; i < n; i++) printf("%d\n", z[i] - lx[i]);
    for(int i = n; i <= m; i++) printf("%d\n", z[i] + ly[i]);
    return 0;
}