数对之差的最大值[算法]

题目：在数组中，数字减去它右边的数字得到一个数对之差。求所有数对之差的最大值。例如在数组{2, 4, 1, 16, 7, 5, 11, 9}中，数对之差的最大值是11，是16减去5的结果。

分析：看到这个题目，很多人的第一反应是找到这个数组的最大值和最小值，然后觉得最大值减去最小值就是最终的结果。这种思路忽略了题目中很重要的一点：数对之差是一个数字减去它右边的数字。由于我们无法保证最大值一定位于数组的左边，因此这个思路不管用。

于是我们接下来可以想到让每一个数字逐个减去它右边的所有数字，并通过比较得到数对之差的最大值。由于每个数字需要和它后面的O(n)个数字作减法，因此总的时间复杂度是O(n²)。

解法一：转化成求解子数组的最大和问题

接下来再介绍一种比较巧妙的解法。如果输入一个长度为n的数组numbers，我们先构建一个长度为n-1的辅助数组diff，并且diff[i]等于numbers[i]-numbers[i+1]（0<=i<n-1）。如果我们从数组diff中的第i个数字一直累加到第j个数字（j > i），也就是diff[i] + diff[i+1] + … + diff[j] = (numbers[i]-numbers[i+1]) + (numbers[i + 1]-numbers[i+2]) + ... +(numbers[j] – numbers[j+ 1]) = numbers[i] – numbers[j + 1]。

分析到这里，我们发现原始数组中最大的数对之差（即numbers[i] – numbers[j + 1]）其实是辅助数组diff中最大的连续子数组之和。

代码如下：

// MaxDiff.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int MaxDiff_Solution2(int numbers[], unsigned length)

{

    if(numbers == NULL || length < 2)
        return 0;
    int* diff = new int[length - 1];//长度为n-1的辅助数组diff

    for(int i = 1; i < length; ++i)
        diff[i - 1] = numbers[i - 1] - numbers[i];
    int currentSum = 0;
    int greatestSum = 0x80000000;
    for(int i = 0; i < length - 1; ++i)
    {
        if(currentSum <= 0)
           currentSum = diff[i];
        else
            currentSum += diff[i];
        if(currentSum > greatestSum)

            greatestSum = currentSum;
    }

    delete[] diff;
    return greatestSum;

} 

int MaxDiff_Solution1(int numbers[], unsigned length)

{

	if(numbers == NULL || length < 2)
		return 0;
	int* diff = new int[length - 1];//长度为n-1的辅助数组diff

	for(int i = 1; i < length; ++i)
		diff[i - 1] = numbers[i - 1] - numbers[i];
	int currentSum = 0;
	int greatestSum = 0;
	for(int i = 0; i < length - 1; ++i)
	{
		currentSum+=diff[i];
		if (currentSum>greatestSum)
		{
			greatestSum=currentSum;
		}
		if (currentSum<0)
		{
			currentSum=0;
		}
	}

	delete[] diff;
	return greatestSum;

} 


int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int a[]={2, 4, 1, 16, 7, 5, 11, 9};
	int len =sizeof(a)/sizeof(int);
	cout<<MaxDiff_Solution1(a,len)<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}