该问题包含两个子问题:
子问题1:给你一个骰子,你扔到几,机器将会给你相应的金钱。比如,你扔到6,机器会返回你6块钱,你扔到1,机器会返回你1块钱。请问,你愿意最多花多少钱玩一次?
子问题2:在子问题1里,你只能扔一次,现在呢,可以给你两次机会,但是你自己也可以选择只扔一次。但返回的钱以最后一次为准。比如,第一次你扔了6,你把第二次机会就放弃了,这样机器会返给你6块钱。但是,假设你第一次扔了3,你如果对这一次不满意,打算再扔一次,如果你第二次扔到了2,那么你最后只能得到2块钱,如果第二次扔到5,你最后会得到5块钱。请问,在这种条件下,你愿意最多花多少钱玩一次?
分析:
对于子问题1,非常简单,本质上是求数学期望。因为骰子每一面被扔到的概率是一样的,即 1/6. 所以,最后期望值是 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + ... + 6 * 1/6 = 3.5. 也就是说,假设你玩无穷次,平均下来,机器会返回给你的钱是 3.5. 所以,如果你头脑清醒的话,你应该不会花超过3.5去玩一次。
对于子问题2,解答起来是有困难的。因为这题里面有一个选择的问题:你可以只扔一次,或者选择扔两次。所以不容易去获得每个值的概率(因为我们不知道到底扔不扔第二次)。但是,如果有了子问题1的答案,其实对于决定是否扔第二次还是有根据的,原因如下:
如果你第一次扔到了1,或者2,或者3,你一定会扔第二次。为什么(问题的关键)?因为我们在扔第二次的时候,它的期望收益是 3.5。同理,如果你第一次扔到了4,5,6,你不会选择扔第二次,因为你知道下一次的期望收益是 3.5,比你目前的收益会小。有了这样的分析,问题就可以迎刃而解了。
解答:
因为骰子总共6面。第一次扔到4, 5, 6 其中之一的概率是 1/2, 那么选择扔第二次的概率也是1/2。在第一次扔到4,5,6其中之一这个事件里,平均收益是4* 1/3 + 5 * 1/3 + 6* 1/3 = 5. 在第二次扔的时候,平均收益是 3.5(子问题1的答案)。所以最后总的收益是 5 * 1/2 + 3.5 * 1/2 = 4.25。
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