Java实现最长公共子序列 [No. 73]

最长公共子序列（LCS）定义：

一个数列 S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。比如数列A = “abcdef”, B = “adefcb”. 那么两个数列的公共子序列是"adef".

最长公共子序列和最长公共子字符串是有区别的，公共子序列里的元素可以不相邻，但是公共子字符串必须是连接在一起的。比如A和B的公共子字符串是“def”。

求解最长公共子序列要用到动态规划的概念。我们用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。问题的递归式写成：

在经典的算法导论那本书里，文章使用了b[][]来记录c[i,j] 选自于哪一个（从递归式里，我们知道有三个不同的选择），但是，我们可以不借助于数组b而借助于数组c本身临时判断c[i,j]的值是由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]中哪一个数值元素所确定，原理是通过我们如何选取c[i,j]来决定的。 在代码里面，我们可以看得出，代码行14,15对应打印的代码行31,32， 代码行17对应打印打印行的36到40。

代码如下：

public static int[][] LCS(String str1, String str2) {
		int[][] opt = new int[str2.length() + 1][str1.length() + 1];
		
		for (int i = 0; i <= str2.length(); i++) {
			opt[i][0] = 0;
		}
		
		for (int j = 0; j <= str1.length(); j++) {
			opt[0][j] = 0;
		}
		
		for (int j = 1; j <= str1.length(); j++) {
			for (int i = 1; i <= str2.length(); i++) {
				if (str2.charAt(i-1) == str1.charAt(j-1)) {
					opt[i][j] = opt[i-1][j-1] + 1;
				} else {
					opt[i][j] = ( opt[i-1][j] >= opt[i][j-1] ? opt[i-1][j] : opt[i][j-1]);
				}
			}
		}
		
		return opt;
	}
	
	public static void print(int[][] opt, String X, String Y, int i, int j) {
		
		if (i == 0 || j == 0) {
			return;
		}
		
		if (X.charAt(i - 1) == Y.charAt(j - 1)) {
                       System.out.print(X.charAt(i - 1));	
                       print(opt, X, Y, i - 1, j - 1);  // don't put this line before the upper line. Otherwise, the order is wrong.
                }else if (opt[i - 1][j] >= opt[i][j]) {
                       print(opt, X, Y, i - 1, j);
                } else {
                       print(opt, X, Y, i, j - 1);}
 }